On the solution of ill‐posed problems by projection methods with a posteriori choice of the discretization level

Abstract

We consider linear ill‐posed problems Au = ƒ with minimum‐norm solution u*. Instead of ƒ noisy data ƒ^δ are given satisfying ‖ƒ^δ — ƒ‖ ≤ δ with known noise level 5. The projection methods for finding approximation u_nto u* are discussed in assumptions guaranteeing in case ƒ^δ = ƒ the monotone convergence u _n → u* (n → 8). In noisy case δ > 0 we propose for two projection methods a posteriori rules for choice n = n(δ) as largest n = 1,2…, for which inequality ‖u_n – u*‖ ≤ ‖u_n_ ₁ – u*‖ can be proved. Numerical results are given.

Nekorektiškų uždavinių sprendimas projekciniais metodais su aposterioriniu diskretizacijos
žingsnio parinkimu

Santrauka. Darbe sprendžiamas nekorektiškas uždavinys Au = ƒ ir ieškomas normalusis sprendinys u*. Vietoj ƒ apibrėžiamas triukšmo paveiktas šaltinis ƒ^δ , tenkinantis nelygybę ‖ƒ^δ – ƒ‖ ≤ δ, čia δ yra žinomas triukšmo lygis. Analizuojami projekciniai metodai, leidžiantys rasti sprendinio u* artinį u_n , apibrėžiamos sąlygos, garantuojančios, kad u_n → u*(n → 8) monotoniškai, jei ƒ^δ = ƒ. Jei δ > 0, tai siūlomos dvi aposteriorinės taisyklės n = n(δ) parinkimui, leidžiančios įrodyti, kad projekcinio metodo sprendiniui dar galioja nelygybė ‖u_n– u*‖ ≤ ‖u_n _₁ – u*‖. Pateikti ir išanalizuoti skaitinio eksperimento rezultatai.

First Published Online: 14 Oct 2010

Keyword : ill‐posed problems, projection methods, a posteriori rule