Composition feature of the element tangent stiffness matrix of geometrically nonlinear 2D frame structures

Abstract

The expressions of the finite element method tangent stiffness matrix of geometrically nonlinear constructions are not fully presented in publications. The matrixes of small displacements stiffness are usually presented only. To solve various problems of construction analysis or design and to specify the mode of the real deflection of construction, it is necessary to have a fully described tangent matrix analytical expression. This paper presents a technique of tangent stiffness matrix generation using discrete body total potential energy stationary conditions considering geometrically nonlinear 2D frame element taking account of interelement interaction forces only. The obtained vector-function derivative of internal forces considering nodal displacements is the tangent stiffness matrix. The analytical expressions having nodal displacements of matrixes forming the content of the 2D frame construction element tangent stiffness matrix are presented in the article. The suggested methodology has been checked making symbolical calculations in the medium of MatLAB calculation complex. The analytical expression of the stiffness matrix has been obtained.

Article in Lithuanian.

Geometriškai netiesinių rėminių konstrukcijų 2D elemento tangentinės standumo matricos sudarymo ypatumai

Santrauka Geometriškai netiesinių konstrukcijų baigtinių elementų metodo tangentinių matricų komponenčių analitinės išraiškos nėra išsamiai pateiktos literatūroje. Dažniausiai pateikiamos tik mažų poslinkių standumo matricos. Tad sprendžiant įvairius konstrukcijų analizės bei projektavimo uždavinius ir norint kuo tiksliau aprašyti konstrukcijos tikrąjį įtemptąjį deformuotą būvį, būtina turėti visiškai aprašytą tangentinės matricos analitinę išraišką. Šiame straipsnyje nagrinėjama geometriškai netiesinio 2D rėminio elemento tangentinės standumo matricos sudarymo metodika naudojantis diskretizuoto kūno pilnutinės potencinės energijos stacionarumo sąlygomis vertinant tik tarpelemetines sąveikos jėgas. Gautos vidinių jėgų vektoriaus-funkcijos išvestinė pagal mazginius poslinkius ir yra tangentinė standumo matrica. Pateiktos rėminės konstrukcijos 2D elemento tangentinę standumo matricą sudarančių matricų analitinės išraiškos, išreikštos mazginiais poslinkiais. Siūloma metodika buvo patikrinta atliekant simbolinius skaičiavimus MatLAB skaičiavimo komplekso terpėje. Gauta analitinė tangentinės standumo matricos išraiška.

Reikšminiai žodžiai: baigtinių elementų metodas, tangentinė standumo matrica, geometrinis netiesiškumas, rėminis  2D elementas.

Keyword : finite element method, tangent stiffness matrix, geometrical nonlinearity, 2D frame element