Uniqueness and convergence of the analytical solution of nonlinear diffusion equation

Abstract

We have discussed the problems of uniqueness of the physical solution of the nonlinear diffusion equation. Here are considered two different ways to express the solutions in the power series. In the first case we will use the power‐series expansion about the zero point. The accuracy of the obtained physical solution is evaluated. However, in this case we get an infinity of different solutions and the problem of the choice of the unique physical solution is considered using the expansion about the point of maximum penetration of the impurities. Then we get only two solutions which differ one from other only in the directions of the diffusion.

Neteisinės difuzijos lygties analizinio sprendinio vienatinumas ir konvergavimas

Santrauka. Klasikinė tiesinė difuzijos lygtis yra išvesta iš Fokerio‐Planko lygties darant prielaidą, kad difuzijos procesas yra ltas. Tačiau tai negali būti taikoma klasikinės tiesinės difuzijos lygties sprendinio er fc (x/2√Dt) asimptotikai, aprašančiai difunduojančių priemaišų įsiskverbimą medžiagoje neribotai dideliuose atstumuose x. Iš Brauno judėjimo teorijos seka, kad per baigtinį laiką t difunduojančios dalelės gali įsiskverbti medžiagoje tik iki baigtinio atstumo nuo difunduojančių dalelių šaltinio, kuris apytikriai lygus vidutiniam kvadratiniam difunduojančių dalelių poslinkiui √2Dt). Netiesinė difuzijos lygtis pakankamai tiksliai aprašanti difunduojančių priemaišų pasiskirstymą puslaidininkiuose gauta padarius prielaidą, kad difunduojančių dalelių srauto tankis yra apibrėžiamas difuzijos koeficientu D proporcingu priemaišų koncentracijai N. Tuomet srityje, kur priemaišų koncentracija lygi nuliui, difuzijos koeficientas lygus nuliui taip pat. Taip užtikrinama fizikine sąlyga, kad per baigtinį laiką priemaišos medžiagoje turi įsiskverbti į baigtinį gylį. Darbe išdėstytas netiesinės difuzijos lygties sprendimas, nagrinėjant vienmatę difuziją iš begalinio šaltinio (kai kieto kūno paviršiuje priemaišų koncentracija Ns yra pastovi), laipsninėmis eilutėmis dviem skirtingais būdais.

First Published Online: 14 Oct 2010

Keyword : -